二项式定理
你将二项式定理与组合写成
其中 n 为自然数。
解释
我们计算一下不同的功率，看看
⁰ = 1.gif){kind=small}
¹ = a + b.gif){kind=small}
² = a² + 2ab + b².gif){kind=small}
³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.gif){kind=small}
⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.gif){kind=small}
⁵ = a⁵ + 5a⁴ b + 10a³ b² + 10a² b³ + 5a b⁴ + b⁵.gif){kind=small}
⁶ = a⁶ + 6a⁵ b + 15a⁴ b² + 20a³ b³ + 15a² b⁴ + 6a b⁵ + b⁶.gif){kind=small}
让我们试着为它找到一个逻辑结构。每个术语都可以写成以下格式
系数 × am bn
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
一个数字是左边的数字和右边的数字之和，就在它的上方。在行中，这些数字先增加，后相应减少。这和用公式计算组合是一样的
上数 n 是二项式的幂，下数 k 是结果中项的当前数。所以我们可以写成
二项式的总和是
分解得到
一个常用的形式是将二项式显示为一个系列